试题

已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=

1

2

（AB+AC）．

证明：延长AM到点E，使得：ME=MD，连接CE．
∵CM是DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵AB=AD，
∴∠E=∠CDE=∠ADB=∠B，
∵∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-∠BAD-∠ADB=∠B=∠E，
∴AC=AE，
AM=

1

2

（AM+AM）
=

1

2

（AM-MD+ME+AM）
=

1

2

（AD+AE）
=

1

2

（AB+AC），
即AM=

1

2

（AB+AC）．
证明：延长AM到点E，使得：ME=MD，连接CE．
∵CM是DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵AB=AD，
∴∠E=∠CDE=∠ADB=∠B，
∵∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-∠BAD-∠ADB=∠B=∠E，
∴AC=AE，
AM=

1

2

（AM+AM）
=

1

2

（AM-MD+ME+AM）
=

1

2

（AD+AE）
=

1

2

（AB+AC），
即AM=

1

2

（AB+AC）．