试题

题目：
已知：关于x的方x2-2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的范围；
（2）
x
2
1
+x
2
2
=22，求m的值．
答案
解：（1）b2-4ac
=[-2（m-2）]2-4×（m2-3m+3）
=4m2-16m+16-4m2+12m-12
=-4m+4＞0，
∴m＜1；

（2）∵x1+x2=2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
∴
x
2
1
+x
2
2
=22，
（x1+x2）2-2x1x2=22，
即[2（m-2）]2-2（m2-3m+3）=22，
整理得m2-5m-12=0，
解得，m1=
5-
73
2
，m2=
5+
73
2
，
∵m＜1，
∴m=
5-
73
2
．
解：（1）b2-4ac
=[-2（m-2）]2-4×（m2-3m+3）
=4m2-16m+16-4m2+12m-12
=-4m+4＞0，
∴m＜1；

（2）∵x1+x2=2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
∴
x
2
1
+x
2
2
=22，
（x1+x2）2-2x1x2=22，
即[2（m-2）]2-2（m2-3m+3）=22，
整理得m2-5m-12=0，
解得，m1=
5-
73
2
，m2=
5+
73
2
，
∵m＜1，
∴m=
5-
73
2
．
考点梳理
根的判别式；根与系数的关系．
（1）利用根的判别式b2-4ac＞0，求得m的范围；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2（m-2），x1x2=m2-3m+3，把
x
2
1
+x
2
2
=22，转化为（x1+x2）2-2x1x2=22，代入组成关于m的一元二次方程解方程求出m的值，结合（1）得出答案．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；（2）△=0·方程有两个相等的实数；（3）△＜0·方程没有实数根；以及根与系数的关系等知识点．
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