试题
题目：
已知关于x的方程
1
4
x
2
-(m-2)x+
m
2
=0
．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的根；
（2）设方程的两根为x
1
，x
2
．是否存在正数m，使得x
1
2
+x
2
2
=224？若存在请求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）依题意得△=0，即
(m-2
)
2
-4×
1
4
×
m
2
=0
，
-4m+4=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为
1
4
x
2
+x+1=0
解得x
1
=x
2
=-2．
（2）不存在．
假设存在正数m使得x
1
2
+x
2
2
=224，
则由韦达定理得x
1
+x
2
=4m-8，x
1
x
2
=4m
2
，
∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=（4m-8）
2
-8m
2
=224，
即：m
2
-8m-20=0，
解得m
1
=10，m
2
=-2（舍去）
∵
△=(m-2
)
2
-4×
1
4
×
m
2
=-4m+4＞0
，
∴m＜1
∴m
1
=10也不符合题意，应舍去．
故不存在正数m使得方程两根满足x
1
2
+x
2
2
=224．
解：（1）依题意得△=0，即
(m-2
)
2
-4×
1
4
×
m
2
=0
，
-4m+4=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为
1
4
x
2
+x+1=0
解得x
1
=x
2
=-2．
（2）不存在．
假设存在正数m使得x
1
2
+x
2
2
=224，
则由韦达定理得x
1
+x
2
=4m-8，x
1
x
2
=4m
2
，
∴x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=（4m-8）
2
-8m
2
=224，
即：m
2
-8m-20=0，
解得m
1
=10，m
2
=-2（舍去）
∵
△=(m-2
)
2
-4×
1
4
×
m
2
=-4m+4＞0
，
∴m＜1
∴m
1
=10也不符合题意，应舍去．
故不存在正数m使得方程两根满足x
1
2
+x
2
2
=224．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；根与系数的关系．
（1）由△=0，即
(m-2
)
2
-4×
1
4
×
m
2
=0
得到m的方程，可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可；
（2）先假设存在正数m使得x
1
2
+x
2
2
=224，然后利用根与系数的关系x
1
+x
2
=4m-8，x
1
x
2
=4m
2
．于是有x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=（4m-8）
2
-8m
2
=224，解方程求出m的值，同时由△＞0得m＜1，且m为正数，最后确定不存在符合条件的正数m
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
x
2
=
c
a
．也考查了存在性问题的解题方法和格式．
存在型．
找相似题
（2013·湘潭）一元二次方程x
2
+x-2=0的解为x
1
、x
2
，则x
1
·x
2
=（ ）
（2013·湖北）已知α，β是一元二次方程x
2
-5x-2=0的两个实数根，则α
2
+αβ+β
2
的值为（ ）
（2013·包头）已知方程x
2
-2x-1=0，则此方程（ ）
（2012·烟台）下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）
（2012·天门）如果关于x的一元二次方程x
2
+4x+a=0的两个不相等实数根x
1
，x
2
满足x
1
x
2
-2x
1
-2x
2
-5=0，那么a的值为（ ）