试题

题目：
若x1，x2是关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0的两个实数根，且x1，x2都大于1．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若
x1
x2
=
1
2
，求k的值．
答案
解：（1）根据题意得△=（2k+1）2-4（k2+1）≥0，
解得k≥
3
4
；
（2）根据题意得x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+1，
∵
x1
x2
=
1
2
，
∴x2=2x1，
∴3x1=2k+1，2x12=k2+1，
∴2×（
2k+1
3
）2=k2+1，
整理得k2-8k+7=0，解得k1=1，k2=7，
当k=1时，原方程为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2（不符合条件舍去），
∴k的值为7．
解：（1）根据题意得△=（2k+1）2-4（k2+1）≥0，
解得k≥
3
4
；
（2）根据题意得x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+1，
∵
x1
x2
=
1
2
，
∴x2=2x1，
∴3x1=2k+1，2x12=k2+1，
∴2×（
2k+1
3
）2=k2+1，
整理得k2-8k+7=0，解得k1=1，k2=7，
当k=1时，原方程为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2（不符合条件舍去），
∴k的值为7．
考点梳理
根的判别式；根与系数的关系．
（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）2-4（k2+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+1，利用x2=2x1，则3x1=2k+1，2x12=k2+1，所以2×（
2k+1
3
）2=k2+1，解此方程得到
k1=1，k2=7，然后根据x1，x2都大于1确定k的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
计算题．
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