试题

题目：
已知关于x的方程x2+（k+2）x+k-1=0．
（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且（x1-1）（x2-1）=k-3，求k的值．
答案
（1）证明：△=（k+2）2+4（k-1）
=k2+8，
∵k2≥0，
∴k2+8＞0，即△＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2=-（k+2），x1·x2=k-1，
∵（x1-1）（x2-1）=k-3，
∴x1·x2-（x1+x2）+1=k-3，
∴k-1+k+2+1=k-3，
∴k=-5．
（1）证明：△=（k+2）2+4（k-1）
=k2+8，
∵k2≥0，
∴k2+8＞0，即△＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2=-（k+2），x1·x2=k-1，
∵（x1-1）（x2-1）=k-3，
∴x1·x2-（x1+x2）+1=k-3，
∴k-1+k+2+1=k-3，
∴k=-5．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）先计算根的判别式得到=k2+8，再根据非负数的性质得即△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=-（k+2），x1·x2=k-1，再利用（x1-1）（x2-1）=k-3得到k-1+k+2+1=k-3，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1·x2=
c
a
．也考查了一元二次方程的根的判别式．
证明题．
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