试题

题目：
如果（x2-2x+m）（x-1）=0方程的三根，可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（　　）



答案
B
解：∵方程（x2-2x+m）（x-1）=0的有三根，
∴x1=1，x2-2x+m=0有两根，
∴方程x2-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x2+x3＞x1=1，|x2-x3|＜x1=1，而x2+x3=2＞1已成立；
当|x2-x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2-4x2·x3＜1．
即：4-4m＜1．解得，m＞
3
4
．
∴
3
4
＜m≤1．
故选B．
考点梳理
根与系数的关系；三角形三边关系．
方程（x2-2x+m）（x-1）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2-2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2-x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
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