试题

已知关于x的方程x²+（2k-1）x+k²=0的两根x₁、x₂满足x₁²-x₂²=0．若直线y=kx（x＞0）上有一点M，过M作MP⊥x轴于P．若OM=

17

①求k的值．  ②求点M的坐标．

解：①由方程的两个实数根为x₁、x₂，
得到b²-4ac=（2k-1）²-4k²≥0，解得：k≤

1

4

，
∴x₁+x₂=-（2k-1）=1-2k，
∵x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
当x₁+x₂=0，即1-2k=0，解得：k=

1

2

（不合题意，舍去）；
当x₁-x₂=0，即x₁=x₂，可得b²-4ac=（2k-1）²-4k²=0，
整理得：4k=1，解得：k=

1

4

；

②设M的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直线的方程为y=

1

4

x过此点，
∴把此点代入直线方程得：b=

1

4

a，即a=4b，①
又∵△OMP为直角三角形，OM=

17

，OP=a，MP=b，
根据勾股定理得：OM²=OP²+MP²，即a²+b²=17，②
①代入②得：16b²+b²=17，即b²=1，
解得：b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
则M的坐标为（4，1）．
解：①由方程的两个实数根为x₁、x₂，
得到b²-4ac=（2k-1）²-4k²≥0，解得：k≤

1

4

，
∴x₁+x₂=-（2k-1）=1-2k，
∵x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
当x₁+x₂=0，即1-2k=0，解得：k=

1

2

（不合题意，舍去）；
当x₁-x₂=0，即x₁=x₂，可得b²-4ac=（2k-1）²-4k²=0，
整理得：4k=1，解得：k=

1

4

；

②设M的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直线的方程为y=

1

4

x过此点，
∴把此点代入直线方程得：b=

1

4

a，即a=4b，①
又∵△OMP为直角三角形，OM=

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，OP=a，MP=b，
根据勾股定理得：OM²=OP²+MP²，即a²+b²=17，②
①代入②得：16b²+b²=17，即b²=1，
解得：b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：a=4，
则M的坐标为（4，1）．