试题

题目：
已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2-3x1-3x2-2=0．求（1+
4
a2-4
）·
a+2
a
的值．
答案
解：∵关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，
∴当4（a-1）2-4（a2-7a-4）≥0，即a≥-1时，方程有解，
x1+x2=-2（a-1），x1·x2=a2-7a-4，
∵x1x2-3x1-3x2-2=0，
∴a2-7a-4+6（a-1）-2=0，解得a=-3或a=4，
∵a≥-1时，方程有解，
∴a=-3不合题意，
∴a=4，
∵（1+
4
a2-4
）·
a+2
a
=
a2
a2-4
·
a+2
a
=
a
a-2
，
∴当a=4时，原式=
4
4-2
=2．
解：∵关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，
∴当4（a-1）2-4（a2-7a-4）≥0，即a≥-1时，方程有解，
x1+x2=-2（a-1），x1·x2=a2-7a-4，
∵x1x2-3x1-3x2-2=0，
∴a2-7a-4+6（a-1）-2=0，解得a=-3或a=4，
∵a≥-1时，方程有解，
∴a=-3不合题意，
∴a=4，
∵（1+
4
a2-4
）·
a+2
a
=
a2
a2-4
·
a+2
a
=
a
a-2
，
∴当a=4时，原式=
4
4-2
=2．
考点梳理
根与系数的关系；分式的化简求值；解一元二次方程-公式法．
先根据根与系数的关系用a表示出x1+x2，及x1·x2的值，再代入方程x1x2-3x1-3x2-2=中求出a的值，把所求分式进行化简，把a的值代入即可．
本题考查的是根与系数的关系及分式的化简求值，先根据根与系数的关系求出a的值是解答此题的关键．
分类讨论．
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