试题

题目：
阅读材料：∵ax2+bx+c=0（a≠0）有两根为x1=
-b+
b2-4ac
2a
．x2=
-b-
b2-4ac
2a
．∴x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
，x1·x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
．综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．利用此知识解决：
（1）已知x1，x2是方程x2-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x12+x22；②（x1+1）（x2+1）；
（2）是否存在实数m，使关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
答案
解：（1）∵x1，x2是方程x2-x-1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1x2=-1，
∴①x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=1-2×（-1）=3；
②（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-1+1+1=1．
（2）设方程的两根是a、b，则
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a2+b2=（a+b）2-2ab=（m+1）2-2（m+4）=2，
解得m=±3．
解：（1）∵x1，x2是方程x2-x-1=0的两根，
∴x1+x2=1，x1x2=-1，
∴①x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=1-2×（-1）=3；
②（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-1+1+1=1．
（2）设方程的两根是a、b，则
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a2+b2=（a+b）2-2ab=（m+1）2-2（m+4）=2，
解得m=±3．
考点梳理
根与系数的关系．
（1）先根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2的值，再对①利用完全平方公式变形，最后把x1+x2，x1x2的值代入计算即可，对②利用多项式乘以多项式展开，再结合，然后把把x1+x2，x1x2的值代入计算即可；
（2）先根据根与系数的关系得出a+b，ab的值，再利用完全平方公式对a2+b2变形，再代入a+b，ab的值，进而可求m．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意整体代入以及完全平方公式的利用．
计算题．
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