试题

题目：
已知α、β是方程x2+5x+1=0的两个根，求
α
β
+
β
α
的值．
答案
解：∵α、β是方程x2+5x+1=0的两个根，
而a=1，b=5，c=1，
∴b2-4ac=25-4=21＞0，
∴α+β=-
b
a
=-
5
1
=-5，αβ=
c
a
=
1
1
=1，
∴α与β同时为负，
则
αβ
β2
+
αβ
α2
=
αβ
|β|
+
αβ
|α|

=-（
αβ
β
+
αβ
α
）
=-（
1
β
+
1
α
）
=-
α+β
αβ

=-
-5
1

=5．
解：∵α、β是方程x2+5x+1=0的两个根，
而a=1，b=5，c=1，
∴b2-4ac=25-4=21＞0，
∴α+β=-
b
a
=-
5
1
=-5，αβ=
c
a
=
1
1
=1，
∴α与β同时为负，
则
αβ
β2
+
αβ
α2
=
αβ
|β|
+
αβ
|α|

=-（
αβ
β
+
αβ
α
）
=-（
1
β
+
1
α
）
=-
α+β
αβ

=-
-5
1

=5．
考点梳理
根与系数的关系；二次根式的化简求值．
由已知方程找出a，b及c，计算出b2-4ac的值大于0，故利用根与系数的关系求出α+β及αβ的值，根据α+β及αβ的值判断出两根同时为负，所以把所求的式子分子分母同时乘以分母，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简且把αβ的值代入后，提取-1，括号里通分后再把两根之和与两根之积代入即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，以及一元二次方程根与系数的关系，解答此类题往往先根据方程找出a，b及c的值，在方程有解的前提下，由根与系数的关系求出两根之积与两根之和的值，然后把所求的式子通分、配方、提取公因式等方法化为与两个之和及两根之积有关的式子，整体代入即可求出值．学生在利用根与系数关系时注意方程有解这个前提条件．
综合题．
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