试题

题目：
已知关于x的方程x2-（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．
答案
解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=k=1，x1·x2=k+2，
∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2-2x1·x2=6，
∴（k+1）2-2（k+2）=6，解得k1=3，k2=-3，
当k=3时，原方程化为x2-4x+6=0，△=16-4×6＜0，此方程无实数解；
当k=-3时，原方程化为x2+2x-1=0，△=4-4×（-1）＞0，此方程有两个不等实数根，
∴k的值为-3．
解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=k=1，x1·x2=k+2，
∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2-2x1·x2=6，
∴（k+1）2-2（k+2）=6，解得k1=3，k2=-3，
当k=3时，原方程化为x2-4x+6=0，△=16-4×6＜0，此方程无实数解；
当k=-3时，原方程化为x2+2x-1=0，△=4-4×（-1）＞0，此方程有两个不等实数根，
∴k的值为-3．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=k=1，x1·x2=k+2，根据题意得（x1+x2）2-2x1·x2=6，即（k+1）2-2（k+2）=6，解得k1=3，k2=-3，然后把k=3或-3代入原方程利用判别式确定k的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1·x2=
c
a
．也考查了一元二次方程的根的判别式
计算题．
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