试题

题目：
在一次数学考试的试卷上有一道试题是：“已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根，求
α
β
+
β
α
的值．”下面是小王同学的解法，请认真阅读小王的解法后，解答问题．
解：
α
β
+
β
α
=
αβ
β2
+
αβ
α2
…①=
αβ
β
+
αβ
α
…②=(
1
β
+
1
α
)
αβ
…③=
α+β
αβ
αβ
…④
又∵α、β是方程x2+5x+2=0的两根，∴α+β=-5，αβ=2…⑤
∴原式=
-5
2
2
…⑥
小王同学的解法正确吗？若不正确，请指出他错在第几步？并给出正确的解题过程．
答案
解：小王同学的解法不正确，错在第②步上．
∵△=52-8=17＞0，
∴α≠β，
由韦达定理得α+β=-5，αβ=2，
这说明α，β同为负数，
∴
α
β
+
β
α
=
αβ
β2
+
αβ
α2

=-
1
β
αβ
-
1
α
αβ

=-（
α+β
αβ
）
αβ
=
5
2
2
．
解：小王同学的解法不正确，错在第②步上．
∵△=52-8=17＞0，
∴α≠β，
由韦达定理得α+β=-5，αβ=2，
这说明α，β同为负数，
∴
α
β
+
β
α
=
αβ
β2
+
αβ
α2

=-
1
β
αβ
-
1
α
αβ

=-（
α+β
αβ
）
αβ
=
5
2
2
．
考点梳理
根与系数的关系；二次根式的性质与化简．
方程x2+5x+2=0的两根为α、β，根据韦达定理，α+β=-5，αβ=2，再把
α
β
+
β
α
化简后即可求值．
本题考查了根与系数的关系及二次根式的化简求值，难度一般，关键是根据韦达定理求出α+β=-3，αβ=2，判断出α，β同为负数，再化简所求二次根式．
计算题．
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