试题
题目：
已知一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x
1
、x
2
，则有x
1
+x
2
=
-
b
a
；x
1
x
2
=
c
a
．请应用以上结论解答下列问题：
已知方程x
2
-x-2=0有两个实数根x
1
，x
2
，要求不解方程
求值：（1）（x
1
+1）（x
2
+1）（2）
x
2
x
1
+
x
1
x
2
（3）
x
1
x
2
2
+
x
2
x
1
2
．
答案
解：∵方程x
2
-x-2=0有两个实数根x
1
，x
2
，
∴x
1
+x
2
=1，x
1
x
2
=-2．
∴（1）（x
1
+1）（x
2
+1）=x
1
x
2
+x
1
+x
2
+1=-2+1+1=0；
（2）
x
2
x
1
+
x
1
x
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
x
2
=
1+4
-2
=-
5
2
；
（3）
x
1
x
2
2
+
x
2
x
1
2
=（x
1
x
2
）（x
1
+x
2
）=-2×1=-2．
解：∵方程x
2
-x-2=0有两个实数根x
1
，x
2
，
∴x
1
+x
2
=1，x
1
x
2
=-2．
∴（1）（x
1
+1）（x
2
+1）=x
1
x
2
+x
1
+x
2
+1=-2+1+1=0；
（2）
x
2
x
1
+
x
1
x
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
x
2
=
1+4
-2
=-
5
2
；
（3）
x
1
x
2
2
+
x
2
x
1
2
=（x
1
x
2
）（x
1
+x
2
）=-2×1=-2．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系．
先根据方程x
2
-x-2=0有两个实数根x
1
，x
2
，得出x
1
+x
2
=1，x
1
x
2
=-2，再根据（1）（x
1
+1）（x
2
+1）=x
1
x
2
+x
1
+x
2
+1，（2）
x
2
x
1
+
x
1
x
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-2
x
1
x
2
x
1
x
2
，（3）
x
1
x
2
2
+
x
2
x
1
2
=（x
1
x
2
）（x
1
+x
2
），代入计算即可．
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，用到的知识点是一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x
1
、x
2
，则有x
1
+x
2
=
-
b
a
；x
1
x
2
=
c
a
．
阅读型．
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2
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1
、x
2
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·x
2
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1
，x
2
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1
x
2
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1
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2
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