试题

题目：
阅读下面的材料：
∵ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
∴x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
，x1x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
综上所述得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有 x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x2+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x2+3x+1=0的根为x1、x2，求x12+x22的值．
（3）设m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，求m2+4m+n的值．
答案
解：（1）根据题意得1+3=-b，1×3=c，
所以b=-4，c=3；

（2）x1+x2=-
3
2
，x1x2=
1
2
，
原式=（x1+x2）2-2x1x2=（-
3
2
）2-2×
1
2
=
5
4
；

（3）∵m是一元二次方程x2+3x-7=0的根
∴m2+3m-7=0，即m2=-3m+7，
∴m2+4m+n=-3m+7+4m+n
=m+n+7，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴m2+4m+n=-3+7=4．
解：（1）根据题意得1+3=-b，1×3=c，
所以b=-4，c=3；

（2）x1+x2=-
3
2
，x1x2=
1
2
，
原式=（x1+x2）2-2x1x2=（-
3
2
）2-2×
1
2
=
5
4
；

（3）∵m是一元二次方程x2+3x-7=0的根
∴m2+3m-7=0，即m2=-3m+7，
∴m2+4m+n=-3m+7+4m+n
=m+n+7，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴m2+4m+n=-3+7=4．
考点梳理
根与系数的关系．
（1）根据根与系数的关系得到1+3=-b，1×3=c，然后解方程即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-
3
2
，x1x2=
1
2
，再把原式变形为（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m-7=0，即m2=-3m+7，则m2+4m+n可化为m+n+7，然后利用根与系数的关系得到m+n=-3，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
阅读型．
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