试题
题目：
填空：
（1）方程x
2
+2x+1=0的根为x
1
=
-1
-1
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
-2
-2
，x
1
·x
2
=
1
1
；
（2）方程x
2
-3x-1=0的根为x
1
=
3+
13
2
3+
13
2
，x
2
=
3-
13
2
3-
13
2
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
·x
2
=
-1
-1
；
（3）方程3x
2
+4x-7=0的根为x
1
=
-
7
3
-
7
3
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
-
4
3
-
4
3
，x
1
·x
2
=
-
7
3
-
7
3
．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题：已知22+
3
是方程x
2
-44x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值．
答案
-1
-1
-2
1
3+
13
2
3-
13
2
3
-1
-
7
3
1
-
4
3
-
7
3
解：（1）方程x
2
+2x+1=0，
∵b
2
-4ac=0，
∴x
1
=x
2
=-
2
2
=-1，
则x
1
+x
2
=-2，x
1
·x
2
=1；
故答案为：-1，-1，-2，1；
（2）方程x
2
-3x-1=0，
∵b
2
-4ac=9+4=13＞0，
∴x=
3±
13
2
，
x
1
=
3+
13
2
，x
2
=
3-
13
2
，则x
1
+x
2
=3，x
1
·x
2
=-1；
故答案为：
3+
13
2
，
3-
13
2
，3，-1；
（3）方程3x
2
+4x-7=0
∵b
2
-4ac=16+84=100＞0，
∴x=
-4±
100
6
，
∴x
1
=-
7
3
，x
2
=1，则x
1
+x
2
=-
4
3
，x
1
·x
2
=-
7
3
．
由（1）（2）（3）能得到：x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
·x
2
=
c
a
；
∵当b
2
-4ac＞0，
∴x=
-b±
b
2
-4ac
2a
，
∴x
1
=
-b+
b
2
-4ac
2a
，x
2
=
-b-
b
2
-4ac
2a
，
∴x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
·x
2
=
c
a
；
∵22+
3
是方程x
2
-44x+C=0的一个根，
∴x
1
+x
2
=22+
3
+x
2
=-
-44
1
=44，
∴x
2
=22-
3
，
∴x
1
x
2
=（22+
3
）（22-
3
）=C，
∴C=-481．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系．
（1）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；
（2）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；
（3）利用求根公式直接求出方程两根即可得出两根之和与两根之积；由（1）（2）（3）中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比，进而求出另一个根及C的值即可．
本题考查了根与系数的关系以及解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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2
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1
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2
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1
·x
2
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2
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2
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1
，x
2
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1
x
2
-2x
1
-2x
2
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