试题

题目：
求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程（k-1） x2+（ k-5） x+k=0的根都是整数．
答案
解：设方程的两根为x1﹑x2．
则x1+x2=-
k-5
k-1
=-1+
4
k-1
，x1x2=
k
k-1
=1+
1
k-1
，且x1+x2和x1x2都是整数．
从而，
4
k-1
和
1
k-1
都是整数．
于是，k-1为4和1的约数．故k-1=±1·k=0或2．
检验知，k=0或2时，方程的两根均为整数．
所以，k=0或2．
解：设方程的两根为x1﹑x2．
则x1+x2=-
k-5
k-1
=-1+
4
k-1
，x1x2=
k
k-1
=1+
1
k-1
，且x1+x2和x1x2都是整数．
从而，
4
k-1
和
1
k-1
都是整数．
于是，k-1为4和1的约数．故k-1=±1·k=0或2．
检验知，k=0或2时，方程的两根均为整数．
所以，k=0或2．
考点梳理
一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．
首先利用根与系数的关系得出有关K的解析式，再从且x1+x2和x1x2都是整数，入手分析得出．
此题主要考查了根与系数的关系，以及特殊值分析法，题目比较典型．
特定专题．
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