试题

题目：
先阅读，再回答问题：
如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．例如x1，x2是方程2x2-x-1=0的两个根，则x1+x2=-
a
b
=
-1
2
=
1
2
，x1x2=
c
a
=
-1
2
=-
1
2
．
（1）若x1，x2是方程2x2+x-3=0的两个根，则x1+x2=
-
1
2
-
1
2
，x1x2
-
3
2
-
3
2
；
（2）若x1，x2是方程x2+x-3=0的两个根，求
x2
x1
+
x1
x2
的值；
（3）若x1，x2是方程x2+（4k+1）x+2k-1=0的两个实数根，且（x1-2）（x2-2）=2k-3，求k的值．
答案
-
1
2

-
3
2

解：（1）根据题意得x1+x2=-
1
2
，x1·x2=
-3
2
=-
3
2
；
故填：-
1
2
；-
3
2


（2）原式=
(x1+x2)2-4x1x2
x1x2

=
(-
1
2
)2-2×(-
3
2
)
-
3
2

=-
13
6
；

（3）∵x1，x2是方程x2+（4k+1）x+2k-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-（4k+1），x1·x2=2k-1，
∴（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=2k-1+2（4k+1）=2k-3，
解得k=-
1
2
．
考点梳理
根与系数的关系．
（1）利用根与系数的关系可求出（x1+x2），x1x2的值；
（2）先求出x1+x2，x1x2的值，然后把
x2
x1
+
x1
x2
通分，再把（x1+x2），x1x2的值代入计算即可；
（3）先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1-2）（x2-2）=2k-3的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
，也考查了代数式的变形能力．
阅读型．
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