试题

题目：
已知：关于x的方程(a2-1)(
x
x-1
)2-(2a+7)(
x
x-1
)+11=0有实根．
（1）求a取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且
x1
x1-1
+
x2
x2-1
=
3
11
，求a的值．
答案
解：设
x
x-1
=y，
①当方程为一次方程时，
即a2-1=0 a=±1．
②当方程为二次方程时，a2-1≠0
则a≠±1，
原方程可化为：（a2-1）y2-（2a+7）y+11=0，
∴△=b2-4ac=（2a+7）2-4（a2-1）×11≥0，
∴40a2-28a-93≤0，
解得：
7-
979
20
≤a≤
7+
979
20
；
（2）设y1=
x1
x1-1
，y2=
x2
x2-1
，
则y1，y2是方程（a2-1）y2-（2a+7）y+11=0的两个根，
∴y1+y2=
2a+7
a2-1
=
3
11
，
解得：a=-
8
3
或a=10．
解：设
x
x-1
=y，
①当方程为一次方程时，
即a2-1=0 a=±1．
②当方程为二次方程时，a2-1≠0
则a≠±1，
原方程可化为：（a2-1）y2-（2a+7）y+11=0，
∴△=b2-4ac=（2a+7）2-4（a2-1）×11≥0，
∴40a2-28a-93≤0，
解得：
7-
979
20
≤a≤
7+
979
20
；
（2）设y1=
x1
x1-1
，y2=
x2
x2-1
，
则y1，y2是方程（a2-1）y2-（2a+7）y+11=0的两个根，
∴y1+y2=
2a+7
a2-1
=
3
11
，
解得：a=-
8
3
或a=10．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）设
x
x-1
=y，分两种情况讨论，①方程为一元一次方程，②方程为二元一次方程，那么有（a2-1）y2-（2a+7）y+11=0，根据△≥0即可求解；
（2）设y1=
x1
x1-1
，y2=
x2
x2-1
，根据根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题．
计算题．
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