试题

题目：
已知a、b为整数，若一元二次方程x2-axa-b+（2a-b-1）x+a2+a-b-4=0的根都是整数，求a、b的值．
答案
解：根据题目分三种情况讨论：
①当a-b=2即b=a-2时，
原方程可化为：（1-a）x2+（a+1）x+（a-2）=0，
设方程两根为：x1，x2，则：x1+x2=
a+1
a-1
，x1x2=
a-2
1-a
，
∵x1，x2为整数，∴x1+x2=
a+1
a-1
，x1x2=
a-2
1-a
均为整数，
可得：
a=2
b=0
或者
a=0
b=2
；
②当a-b=1即b=a-1时，
原方程可化为：x2+a2-3=0，
当：x1，x2，a，b为整数时，无解；
③当a-b=0即a=b时，
原方程可化为：x2+（a-1）x+a2-a-4=0，
x1+x2=1-a，x1x2=a2-a-4，
可得有无数组a，b，x1，x2满足题意．
解：根据题目分三种情况讨论：
①当a-b=2即b=a-2时，
原方程可化为：（1-a）x2+（a+1）x+（a-2）=0，
设方程两根为：x1，x2，则：x1+x2=
a+1
a-1
，x1x2=
a-2
1-a
，
∵x1，x2为整数，∴x1+x2=
a+1
a-1
，x1x2=
a-2
1-a
均为整数，
可得：
a=2
b=0
或者
a=0
b=2
；
②当a-b=1即b=a-1时，
原方程可化为：x2+a2-3=0，
当：x1，x2，a，b为整数时，无解；
③当a-b=0即a=b时，
原方程可化为：x2+（a-1）x+a2-a-4=0，
x1+x2=1-a，x1x2=a2-a-4，
可得有无数组a，b，x1，x2满足题意．
考点梳理
根与系数的关系；一元二次方程的定义．
因为方程x2-axa-b+（2a-b-1）x+a2+a-b-4=0为一元二次方程，且两根和a，b均为整数，根据根与系数的关系和一元二次方程的定义分情况讨论分别求解a，b值，即可得出答案．
本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的定义，难度较大，关键根据题意分情况讨论可能的各种情况，掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
计算题．
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