试题

题目：
青果学院（2012·乐山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x2-4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为（　　）



答案
A
解：∵两直角边AC、BC的长恰是方程x2-4x+2=0的两个不同的根，
∴AC+BC=-
b
a
=4，AC·BC=
c
a
=2，
∴（AC+BC）2=16，
∴AC2+BC2+2AC·BC=16，
∴AC2+BC2=16-2AC·BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2=12，
∴AB=
12
=2
3
，
∵S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
AB×CD，
∴
1
2
×2=
1
2
×2
3
×CD，
∴CD=
3
3
．
故选A．
考点梳理
勾股定理；根与系数的关系．
先利用根与系数的关系得到AC+BC=4和AC·BC=2，再把AC+BC=4两边平方，得到AC2+BC2的值，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，从而求出斜边AB的值，又因为S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
AB×CD，所以把已知数据代入可求出CD的长．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
和勾股定理以及三角形的面积公式的应用．
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