试题

题目：
已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，求
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
的值．
答案
解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t2+t+1）=0，
而t2+t+1=（t+
1
2
）2+
3
4
，
∵（t+
1
2
）2≥0，
∴t2+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=
a3+b3+c3
abc

=
(a+b)(a2-ab+b2)+c3
abc

=
-c(a2-ab+b2)+c3
abc

=
c2-(a2-ab+b2)
ab

=
c2-[(a+b) 2-3ab]
ab

=
c2-c2+3ab
ab

=3．
解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t2+t+1）=0，
而t2+t+1=（t+
1
2
）2+
3
4
，
∵（t+
1
2
）2≥0，
∴t2+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=
a3+b3+c3
abc

=
(a+b)(a2-ab+b2)+c3
abc

=
-c(a2-ab+b2)+c3
abc

=
c2-(a2-ab+b2)
ab

=
c2-[(a+b) 2-3ab]
ab

=
c2-c2+3ab
ab

=3．
考点梳理
一元二次方程的解；分式的化简求值．
设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，根据一元二次方程的解的意义得到at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，然后把①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，而t2+t+1=（t+
1
2
）2+
3
4
＞0，所以只有a+b+c=0，即a+b=-c；再把所求的分式通分得到
a3+b3+c3
abc
，接着把a3+b3用立方和公式分解，然后用-c代换a+b，原分式约分后把a2+b2配方，再用-c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．
计算题．
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