试题
题目：
若方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b
2
=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案
C
解：解方程x
2
+2ax+b
2
=0得，
x
1
=
-2a+
(2a)
2
-4
b
2
2
=-a+
a
2
-b
2
，
x
2
=
-2a-
(2a)
2
-4
b
2
2
=-a-
a
2
-b
2
，
解方程x
2
+2cx-b
2
=0得，
x
3
=
-2c+
(2c)
2
+4
b
2
2
=-c+
c
2
+b
2
，
x
4
=
-2c-
(2c)
2
+4
b
2
2
=-c-
c
2
+b
2
，
∴方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b
2
=0有一个相同的根，
∴①x
1
=x
3
，-a+
a
2
-b
2
=-c+
c
2
+b
2
；
移项得，c-a=
c
2
+b
2
-
a
2
-b
2
，
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=
c
2
+b
2
·
a
2
-b
2
，
两边平方得，a
2
c
2
=（c
2
-b
2
）（a
2
-b
2
），
整理得，c
2
+b
2
=a
2
．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x
2
=x
4
时，得相同结果；
③x
1
=x
4
时，解得，等式不成立；
④x
2
=x
3
时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．
考点梳理
考点
分析
点评
一元二次方程的解；三角形三边关系．
求出x
2
+2ax+b
2
=0的两个根x
1
，x
2
；再求出方程x
2
+2cx-b
2
=0的两根x
3
，x
4
；分四种情况进行计算即可作出判断：①x
1
=x
3
，②x
2
=x
4
，③x
1
=x
4
，④x
2
=x
3
．
此题考查三角形的三边关系、一元二次方程的关系．求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．
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