试题

题目：
青果学院在△ABC中，边BC、AC上的中线AE、BD相交于点G，过点G作MN∥BC，已知
BD
=
a
，
AC
=
b
，试用
a
和
b
表示
BC
、
MN
．
答案
解：∵DC=
1
2
AC，
∴
DC
=
1
2
AC
=
1
2
b
，（2分）
∴
BC
=
BD
+
DC
=
a
+
1
2
b
；（2分）
∵中线AE、BD相交于点G，
即点G为△ABC的重心，
∴
AG
AE
=
2
3
，（2分）
∵MN∥BC，
∴
MN
BC
=
AN
AC
=
AG
AE
=
2
3
，
∴MN=
2
3
BC，（2分）
∴
MN
=
2
3
BC
=
2
3
(
a
+
1
2
b
)=
2
3
a
+
1
3
b
．
解：∵DC=
1
2
AC，
∴
DC
=
1
2
AC
=
1
2
b
，（2分）
∴
BC
=
BD
+
DC
=
a
+
1
2
b
；（2分）
∵中线AE、BD相交于点G，
即点G为△ABC的重心，
∴
AG
AE
=
2
3
，（2分）
∵MN∥BC，
∴
MN
BC
=
AN
AC
=
AG
AE
=
2
3
，
∴MN=
2
3
BC，（2分）
∴
MN
=
2
3
BC
=
2
3
(
a
+
1
2
b
)=
2
3
a
+
1
3
b
．
考点梳理
*平面向量；三角形的重心．
先由D是AC上的中点，可知
DC
=
1
2
AC
=
1
2
b
，根据向量加法的三角形法则可以求出
BC
．根据点G为△ABC的重心，可得
AG
AE
=
2
3
，由平行线的性质可得MN=
2
3
BC，则
MN
易求．
本题难度中等，考查向量的知识．解题的关键是熟悉向量加法的三角形法则及三角形的重心的定义和平行线的性质．
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