试题

题目：
青果学院（2009·闸北区一模）如图，在△ABC中，
AB
=
a
，
BC
=
b
，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，试用
a
、
b
的线性组合表示向量
AG
．
答案
青果学院解：方法一：∵AD为边BC的中线，∴
BD
=
1
2
BC
=
1
2
b
，
∴
AD
=
AB
+
BD
，-=
a
+
1
2
b
，
∵G为△ABC的重心，∴
AG
=
2
3
AD
，
AG
=
2
3
(
a
+
1
2
b
)=
2
3
a
+
1
3
b
．
方法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F，
∴△AEF∽△ABC，
AE
=
2
3
AB
=
2
3
a
，
EF
=
2
3
BC
=
2
3
b
，
EG
=
1
2
EF
=
1
3
b
，
∴
AG
=
AE
+
EG
=
2
3
a
+
1
3
b
，
青果学院解：方法一：∵AD为边BC的中线，∴
BD
=
1
2
BC
=
1
2
b
，
∴
AD
=
AB
+
BD
，-=
a
+
1
2
b
，
∵G为△ABC的重心，∴
AG
=
2
3
AD
，
AG
=
2
3
(
a
+
1
2
b
)=
2
3
a
+
1
3
b
．
方法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F，
∴△AEF∽△ABC，
AE
=
2
3
AB
=
2
3
a
，
EF
=
2
3
BC
=
2
3
b
，
EG
=
1
2
EF
=
1
3
b
，
∴
AG
=
AE
+
EG
=
2
3
a
+
1
3
b
，
考点梳理
*平面向量；三角形的重心．
可用
a
、
b
表示
AD
，再利用三角形重心的性质即
AG
=
2
3
AD
，进而表示即可；
也可通过作简单的辅助线进行求解，下边给出两种方法求解．
本题主要考查了平面向量的简单计算问题，其中涉及三角形重心的概念，应熟练掌握．
应用题．
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