试题

（2009·卢湾区二模）如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．

证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）

（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=

180°-α

2

=90°-

α

2

．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=

180°-(180°-α)

2

=

α

2

．（1分）
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）

解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴

AH

AD

=

AE

AB

，∴HE∥BD，（1分）
同理可证，GH∥AC，（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）
证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）

（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=

180°-α

2

=90°-

α

2

．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=

180°-(180°-α)

2

=

α

2

．（1分）
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）

解法二：连接BD，AC．
∵AH=AE，AD=AB，
∴

AH

AD

=

AE

AB

，∴HE∥BD，（1分）
同理可证，GH∥AC，（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）
∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．（1分）