试题

题目：
青果学院如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长
a+b
21004
a+b
21004
．
答案
a+b
21004

解：青果学院结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，长为
a
2n
，宽为
b
2n
；
脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为
a2+b2
2n+1
，
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为
a2+b2
21006
，
周长为
4
a2+b2
21006
，即
a2+b2
21004
．
∴四边形A2011B2011C2011D2011是矩形，长为
a
21005
，宽为
b
21005
，
∴四边形A2011B2011C2011D2011的周长为：2（
a
21005
+
b
21005
）=
a+b
21004
．
故答案为：
a+b
21004
．
考点梳理
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的性质．
根据图形，四边形A1B1C1D1的长为
a
2
，宽为
b
2
，四边形A2B2C2D2是菱形，边长为
a2+b2
22
；四边形A3B3C3D3的长为
a
22
，宽为
b
22
，四边形A4B4C4D4是菱形，边长为
a2+b2
23
，依此类推，A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1长为
a
2n
，宽为
b
2n
，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为
a2+b2
2n+1
，四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长乘以4就是周长．
本题是规律探寻题，探索出当脚码为奇数时，四边形为矩形，当脚码为偶数时，四边形为菱形，并表示出矩形的长与宽的表达式以及菱形的边长的表达式是解题的关键．
规律型．
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