试题

如图，△ABD，△BCE，△ACF均为等边三角形，请回答下列问题，其中（2），（3），（4）小题不用说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由．
（2）当△ABC满足条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足条件时，四边形ADEF是矩形？
（4）当△ABC满足条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

解：（1）∵△ABD，△BCE为等边三角形
∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC                          
∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°
∴∠ABC=∠DBE           
∴△ABC≌△DBE
∴DE=AC      同理：EF=AB              
∵AB=AD，AC=AF
∴EF=AD，DE=AF
∴四边形ADEF是平行四边形     

（2）∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
∵△ABD，△ACF均为等边三角形，
∴AB=AD，AC=AF．
∴AB=AC时，四边形ADEF是矩形．
                               
（3）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（4）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
故答案为：（2）AB=AC   （3）∠BAC=150° （4）∠BAC=60°