试题

（2011·白下区二模）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求证：AB=CD；
（2）连接AE，若AE=DE，求证：四边形ABCD是矩形．

（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△BEF和△CED中
∵

∠CDE=∠F ∠BEF=∠CED BE=EC

，
∴△BEF≌△CED（AAS）．（1分）
∴BF=CD．（2分）
∵AB=BF，
∴AB=CD．（3分）

（2）证明：∵∠F=∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∴∠ABE=90°．（6分）
∴·ABCD是矩形．（7分）
（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△BEF和△CED中
∵

∠CDE=∠F ∠BEF=∠CED BE=EC

，
∴△BEF≌△CED（AAS）．（1分）
∴BF=CD．（2分）
∵AB=BF，
∴AB=CD．（3分）

（2）证明：∵∠F=∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∴∠ABE=90°．（6分）
∴·ABCD是矩形．（7分）