试题

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）若EF与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）当EF=AC时，四边形AECF是矩形，
∵EF过AC的中点O，EF=AC，
∴

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴EF=AC且互相平分，
∴四边形AECF是矩形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）当EF=AC时，四边形AECF是矩形，
∵EF过AC的中点O，EF=AC，
∴

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴EF=AC且互相平分，
∴四边形AECF是矩形．