试题

（2013·雨花台区一模）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，连接DE．
（1）证明△ADE是等边三角形；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，证明四边形AFCE是矩形．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=60°，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∵将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，
∴AD=AE，∠CAE=∠DAC=30°，CD=CE，
∴∠DAE=60°，
∴△DAE是等边三角形．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵F为AB中点，D为BC中点，
∴AF=CD=CE
∵∠CAE=30°，
∴∠FAE=90°，
∵△ABC的面积S=

1

2

AB×CF=

1

2

BC×AD，
∴CF=AD，
∵AD=AE，
∴CF=AE，
即AF=CE，AE=CF，∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=60°，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∵将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，
∴AD=AE，∠CAE=∠DAC=30°，CD=CE，
∴∠DAE=60°，
∴△DAE是等边三角形．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵F为AB中点，D为BC中点，
∴AF=CD=CE
∵∠CAE=30°，
∴∠FAE=90°，
∵△ABC的面积S=

1

2

AB×CF=

1

2

BC×AD，
∴CF=AD，
∵AD=AE，
∴CF=AE，
即AF=CE，AE=CF，∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．