试题

如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S_△ABE=3，S_△ECF=8，S_△ADF=5，则矩形ABCD的面积为．

解：如图，
S_△ABE=3，即

1

2

AB·BE=3，
S_△ECF=8，即

1

2

EC·CF=8，
S_△ADF=5，即

1

2

AD·DF=5，
∴BE·（DF+CF）=6，即BE·DF+BE·CF=6，①
（BE+EC）·DF=10，即BE·DF+EC·DF=10②
②-①得DF·EC-BE·CF=4，DF·EC=4+BE·CF③，
①+②得2BE·DF+BE·CF+EC·DF=16，
即2（6-BE·CF）+BE·CF+EC·DF=16④，
由

1

2

EC·CF=8可知，EC·CF=16，
则BE·FC=4，BE·DF=2，
即四边形AHMG的面积为2，
则S_矩形ABCD=S_ABEG+S_ECFM+S_AHFD-S_AHMG=6+16+10-2=30．
故此题答案为30．

解：作EG⊥AD交AD于G，FH⊥AB交AB于H，FH与EG交于Q．
由已知条件和作图条件可知，
AD=BC=FH，AB=CD=EG，CE=FQ=DG，BE=QH=AG，DF=QG=AH．
AB·BE=3×2（1），
AD·DF=5×2（2），
CF·CE=CF·（BC-BE）=CF·BC-CF·BE=2×8（3），
CF·CE=（CD-DF）EC=EC·CD-EC·DF=2×8（4），
（1）+（4）得：AB·BC-EC·DF=22（5），
（2）+（3）得：AD·CD-CF·BE=26（6），
（5）-（6）得：EC·DF-CF·BE=4，
因CF=EQ，EC=FQ，所以FQ·DF-EQ·BE=4，
S四边形FQGD-S四边形BEQH=4，
设S四边形BEQH=x，S四边形FQGD=x+4，

S四边形FQGC

S四边形FQEC

=

GQ

QE

=

S四边形AGQH

S四边形BEQH

（在两个矩形中，长和宽如有一边对应相等，那么对应的另一边的比等于两个矩形面积的比），
设S_{四边形AGQH}=y，

x+4

8×2

=

y

x

，
y=

x(x+4)

16

，
S_{四边形ABEG}=2S_△ABE=2×8=16，
又∵S_{四边形ABEG}=S_{四边形AGQH}+S_{四边形BEQH}=

x(x+4)

16

+x=3×2=6，
解得：x₁=4，x₂=-24（不合题意舍去）
S_矩形ABCD=S_{四边形AGQH}+S_{四边形BEQH}+S_{四边形ECFQ}+S_{四边形FQGD}=y+x+8*2+x+4=x（x+4）/16+x+8*2+x+4=4*（4+4）/16+4+16+4+4=30