试题

（2008·淮安）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连接AE、DE．
（1）试判断四边形AODE的形状，不必说明理由；
（2）请你连接EB、EC，并证明EB=EC．

解：（1）四边形AODE是菱形．理由如下：
∵点O和点E关于直线AD对称，
∴△AOD≌△AED；
∴OA=AE  OD=DE；
∵由矩形ABCD，
∴OA=OD；
∴OA=OD=DE=EA；
∴四边形AODE是菱形．

（2）∵四边形AODE是菱形，
∴AE=ED；
∴∠EAD=∠EDA；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°；
∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA；
∴∠EAB=∠EDC；
∴△EAB≌△EDC；
∴EB=EC．
解：（1）四边形AODE是菱形．理由如下：
∵点O和点E关于直线AD对称，
∴△AOD≌△AED；
∴OA=AE  OD=DE；
∵由矩形ABCD，
∴OA=OD；
∴OA=OD=DE=EA；
∴四边形AODE是菱形．

（2）∵四边形AODE是菱形，
∴AE=ED；
∴∠EAD=∠EDA；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°；
∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA；
∴∠EAB=∠EDC；
∴△EAB≌△EDC；
∴EB=EC．