试题

（2011·青羊区一模）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点．
（1）如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．
（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF=4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．

解：（1）∵E为AB上的一个动点，
∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DCM，
∴AE：CD=MA：MD，
∴AE=

CD×MA

MD

=2；

（2）∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，而CH=4，
∴DH=2，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD=MA：MD，
∴AE=

HD×MA

MD

=

2

3

，
∴AF=4+

2

3

=

14

3

．
解：（1）∵E为AB上的一个动点，
∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DCM，
∴AE：CD=MA：MD，
∴AE=

CD×MA

MD

=2；

（2）∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，而CH=4，
∴DH=2，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD=MA：MD，
∴AE=

HD×MA

MD

=

2

3

，
∴AF=4+

2

3

=

14

3

．