试题

（2013·密云县一模）如图，长方形制片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁减和拼图

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
（1）所拼成得四边形是什么特殊四边形？
（2）则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值是多少？

解：（1）画出第三步剪拼之后的四边形M₁N₁N₂M₂的示意图，如答图1所示．
图中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是一个平行四边形，

（2）其周长为2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6cm为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，
则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4cm．
∴其周长的最小值为：2BC+2MN=2×6+2×4=20（cm）．
解：（1）画出第三步剪拼之后的四边形M₁N₁N₂M₂的示意图，如答图1所示．
图中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是一个平行四边形，

（2）其周长为2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6cm为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，
则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4cm．
∴其周长的最小值为：2BC+2MN=2×6+2×4=20（cm）．