试题

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AC于点E，点F在EB延长线上，BF=AC，连接DF交AB于点G．
（1）求证：∠ADG=∠CDG；
（2）若AO=AG，矩形ABCD的面积为9

3

，求FG长．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=2∠OBA，
∵BD=AC，AC=BF，
∴BD=BF，
∴∠F=∠BDF，
∴∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴∠EBO+∠EOB=90°，
∴2∠BDG+2∠OBA=90°，
∴∠BDG+∠OBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠ODC+∠BDG=45°，
即∠CDG=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠ADG=∠CDG．

解：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAG=90°，
∴∠DGA=∠ADG=45°，
∴AD=AG，
∵AO=OB=OD=AG，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠DAO=60°，∠CAB=30°，
∵∠ABC=90°，
∴AC=2BC，AB=

AC2-BC2

=

3

BC，
∴S_矩形ABCD=

3

BC×BC=9

3

，
∴BC=3，
∴AB=3

3

，
∵∠CAB=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°，
过F作FH⊥AB交AB延长线于H，
∵∠FBH=∠ABE=60°，∠BHF=∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°-60°=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°=∠FBH，
在△FBH和△ACB中

∠ACB=∠FBH ∠ABC=∠H AC=BF

∴△FBH≌△ACB（AAS），
∴FH=AB=3

3

，
∵∠HGF=∠DGA=45°，∠FHG=90°，
∴∠HFG=45°，
∴GH=FH，
∴在Rt△FGH中，FG=

FH2+GH2

=

2

FH=

2

×3

3

=3

6

，
即FG=3

6

．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=2∠OBA，
∵BD=AC，AC=BF，
∴BD=BF，
∴∠F=∠BDF，
∴∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴∠EBO+∠EOB=90°，
∴2∠BDG+2∠OBA=90°，
∴∠BDG+∠OBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠ODC+∠BDG=45°，
即∠CDG=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠ADG=∠CDG．

解：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAG=90°，
∴∠DGA=∠ADG=45°，
∴AD=AG，
∵AO=OB=OD=AG，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠DAO=60°，∠CAB=30°，
∵∠ABC=90°，
∴AC=2BC，AB=

AC2-BC2

=

3

BC，
∴S_矩形ABCD=

3

BC×BC=9

3

，
∴BC=3，
∴AB=3

3

，
∵∠CAB=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°，
过F作FH⊥AB交AB延长线于H，
∵∠FBH=∠ABE=60°，∠BHF=∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°-60°=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°=∠FBH，
在△FBH和△ACB中

∠ACB=∠FBH ∠ABC=∠H AC=BF

∴△FBH≌△ACB（AAS），
∴FH=AB=3

3

，
∵∠HGF=∠DGA=45°，∠FHG=90°，
∴∠HFG=45°，
∴GH=FH，
∴在Rt△FGH中，FG=

FH2+GH2

=

2

FH=

2

×3

3

=3

6

，
即FG=3

6

．