试题

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN²=BN²+CD²．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

（1）选①，
证明：连接DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠BCD=90°，
∴DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

（2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
∵

∠NBO=∠PDO ∠BNO=∠DPO OB=OD

，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．
（1）选①，
证明：连接DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠BCD=90°，
∴DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

（2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
∵

∠NBO=∠PDO ∠BNO=∠DPO OB=OD

，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．