试题

如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，点E在BC上且∠BAE=30°，延长BC到点F使CF=BE，连接DF．
（1）判断四边形AEFD的形状，并说明理由；
（2）求DF的长度；
（3）若四边形AEFD是菱形，求菱形AEFD的面积．

解：
（1）四边形AEFD是平行四边形，
由已知矩形ABCD得：AD∥BC，AD=BC．
又BE=CF，∴AD=BC=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，
∴AE=2BE．
设AE=2x，BE=x，则有：（2x）²+x²=3²
解得：x=

3

．
∴DF=AE=2

3

．

（3）∵四边形AEFD是菱形，
∴AD=AE=2

3

．
∴S_菱形=AB·AD=3×2

3

=6

3

．
解：
（1）四边形AEFD是平行四边形，
由已知矩形ABCD得：AD∥BC，AD=BC．
又BE=CF，∴AD=BC=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，
∴AE=2BE．
设AE=2x，BE=x，则有：（2x）²+x²=3²
解得：x=

3

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∴DF=AE=2

3

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（3）∵四边形AEFD是菱形，
∴AD=AE=2

3

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∴S_菱形=AB·AD=3×2

3

=6

3

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