试题

（2013·东城区一模）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值分别为多少？

解：画出第三步剪拼之后的四边形M₁N₁N₂M₂的示意图，如答图1所示．
图中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是一个平行四边形，
其周长为2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即

PB2+BC2

=

42+62

=2

13

，
四边形M₁N₁N₂M₂的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴四边形M₁N₁N₂M₂周长的最小值为12+2×4=20，
最大值为12+2×2

13

=12+4

13

．
故四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12+4

13

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解：画出第三步剪拼之后的四边形M₁N₁N₂M₂的示意图，如答图1所示．
图中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四边形M₁N₁N₂M₂是一个平行四边形，
其周长为2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即

PB2+BC2

=

42+62

=2

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四边形M₁N₁N₂M₂的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴四边形M₁N₁N₂M₂周长的最小值为12+2×4=20，
最大值为12+2×2

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=12+4

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故四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12+4

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