试题

题目：
如图，△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且BC和高线AD的值是有理数，问矩形PQRS的周长值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？
青果学院
答案
解：设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=
1
3
×
1
2
ah=
1
6
ah，
h-y
h
=
x
a
；
即hx+ay=ah，hx·ay=
1
6
a2h2
解得
x=
3+
3
6
a
y=
3-
3
6
h

∴周长l=2（x+y）=a+h±
a-h
3

当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．
解：设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=
1
3
×
1
2
ah=
1
6
ah，
h-y
h
=
x
a
；
即hx+ay=ah，hx·ay=
1
6
a2h2
解得
x=
3+
3
6
a
y=
3-
3
6
h

∴周长l=2（x+y）=a+h±
a-h
3

当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．
考点梳理
矩形的性质；无理数；三角形的面积．
根据矩形及三角形的面积公式求出矩形的长和宽，计算出周长，再根据有理数和无理数的概念解答．
解答此题的关键是要熟知矩形及三角形的面积公式，有理数和无理数的概念．
分类讨论．
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