试题

已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD于点M，折痕交边BC于点N．
（1）写出图中的全等三角形．设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°．如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由．

解：（1）由折叠的性质可得：△MBN≌△MPN；
∵△MBN≌△MPN，
∴MB=MP，
∴MB²=MP²，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵AD=3，CD=2，CP=x，AM=y，
∴DP=2-x，MD=3-y，AB=2，
Rt△ABM中，MB²=AM²+AB²=y²+4，
同理：MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，
∴y²+4=（3-y）²+（2-x）²，
∴y与x的函数关系式为：y=

x2-4x+9

6

（2≤x≤3）；

（2）∠BMP=90°．
若∠BMP=90°，
则∠AMB+∠DMP=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMP，
在△ABM和△DMP中，

∠A=∠D ∠ABM=∠DMP BM=MP

，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴AM=DP，AB=DM，
∴2=3-y，
解得：y=1，
∴1=2-x，
解得：x=1，
∴当CP=1时，∠BMP=90°．
解：（1）由折叠的性质可得：△MBN≌△MPN；
∵△MBN≌△MPN，
∴MB=MP，
∴MB²=MP²，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵AD=3，CD=2，CP=x，AM=y，
∴DP=2-x，MD=3-y，AB=2，
Rt△ABM中，MB²=AM²+AB²=y²+4，
同理：MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，
∴y²+4=（3-y）²+（2-x）²，
∴y与x的函数关系式为：y=

x2-4x+9

6

（2≤x≤3）；

（2）∠BMP=90°．
若∠BMP=90°，
则∠AMB+∠DMP=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMP，
在△ABM和△DMP中，

∠A=∠D ∠ABM=∠DMP BM=MP

，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴AM=DP，AB=DM，
∴2=3-y，
解得：y=1，
∴1=2-x，
解得：x=1，
∴当CP=1时，∠BMP=90°．