试题

题目:
青果学院如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O.
(1)如图1,求证:A、G、E、F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,点N是线段BC的中点,且ON=OD,求折痕FG的长.
答案
青果学院(1)证明:由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG),
又∵AG=GE,
∴四边形AGEF是菱形.

(2)解:连接ON,
∵O,N分别是AE,CB的中点,
故ON是梯形ABCE的中位线,
设CE=x,则ED=4-x,2ON=CE+AB=x+4,
在Rt△AED中,AE=2OE=2ON=x+4,
AD2+DE2=AE2
∴22+(4-x)2=(4+x)2
得x=
1
4

OE=
1
2
22+(
15
4
)
2
=
17
8

∵△FEO∽△AED,
OE
DE
=
OF
AD

解得:FO=
17
15

∴FG=2FO=
34
15

故折痕FG的长是
34
15

青果学院(1)证明:由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG),
又∵AG=GE,
∴四边形AGEF是菱形.

(2)解:连接ON,
∵O,N分别是AE,CB的中点,
故ON是梯形ABCE的中位线,
设CE=x,则ED=4-x,2ON=CE+AB=x+4,
在Rt△AED中,AE=2OE=2ON=x+4,
AD2+DE2=AE2
∴22+(4-x)2=(4+x)2
得x=
1
4

OE=
1
2
22+(
15
4
)
2
=
17
8

∵△FEO∽△AED,
OE
DE
=
OF
AD

解得:FO=
17
15

∴FG=2FO=
34
15

故折痕FG的长是
34
15
考点梳理
翻折变换(折叠问题);勾股定理;菱形的判定与性质;矩形的性质.
(1)根据折叠的性质判断出AG=GE,∠AGF=∠EGF,再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF,从而判断出EF=AG,得出四边形AGEF是平行四边形,继而结合AG=GE,可得出结论.
(2)连接ON,得出ON是梯形ABCE的中位线,在RT△ADE中,利用勾股定理可解出x,继而可得出折痕FG的长度.
此题考查了翻折变换的知识,涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质,关键在于得出△FEO∽△AED,求出
OE
DE
=
OF
AD
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