试题

如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON=OD，求折痕FG的长．

（1）证明：由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．

（2）解：连接ON，
∵O，N分别是AE，CB的中点，
故ON是梯形ABCE的中位线，
设CE=x，则ED=4-x，2ON=CE+AB=x+4，
在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+4，
AD²+DE²=AE²，
∴2²+（4-x）²=（4+x）²，
得x=

1

4

，
OE=

1

2

22+( 15 4 )2

=

17

8

，
∵△FEO∽△AED，
∴

OE

DE

=

OF

AD

，
解得：FO=

17

15

，
∴FG=2FO=

34

15

．
故折痕FG的长是

34

15

．
（1）证明：由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG=AG，
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），
又∵AG=GE，
∴四边形AGEF是菱形．

（2）解：连接ON，
∵O，N分别是AE，CB的中点，
故ON是梯形ABCE的中位线，
设CE=x，则ED=4-x，2ON=CE+AB=x+4，
在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+4，
AD²+DE²=AE²，
∴2²+（4-x）²=（4+x）²，
得x=

1

4

，
OE=

1

2

22+( 15 4 )2

=

17

8

，
∵△FEO∽△AED，
∴

OE

DE

=

OF

AD

，
解得：FO=

17

15

，
∴FG=2FO=

34

15

．
故折痕FG的长是

34

15

．