题目:

如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O.
(1)如图1,求证:A、G、E、F四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,点N是线段BC的中点,且ON=OD,求折痕FG的长.
答案

(1)证明:由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG),
又∵AG=GE,
∴四边形AGEF是菱形.
(2)解:连接ON,
∵O,N分别是AE,CB的中点,
故ON是梯形ABCE的中位线,
设CE=x,则ED=4-x,2ON=CE+AB=x+4,
在Rt△AED中,AE=2OE=2ON=x+4,
AD
2+DE
2=AE
2,
∴2
2+(4-x)
2=(4+x)
2,
得x=
,
OE=
=
,
∵△FEO∽△AED,
∴
=
,
解得:FO=
,
∴FG=2FO=
.
故折痕FG的长是
.

(1)证明:由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG),
又∵AG=GE,
∴四边形AGEF是菱形.
(2)解:连接ON,
∵O,N分别是AE,CB的中点,
故ON是梯形ABCE的中位线,
设CE=x,则ED=4-x,2ON=CE+AB=x+4,
在Rt△AED中,AE=2OE=2ON=x+4,
AD
2+DE
2=AE
2,
∴2
2+(4-x)
2=(4+x)
2,
得x=
,
OE=
=
,
∵△FEO∽△AED,
∴
=
,
解得:FO=
,
∴FG=2FO=
.
故折痕FG的长是
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