试题

如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB到点G，使BG=AB，连结GO交BC于点E，延长GO交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连结CG，若AE=3cm，延长AE交线段CG于点M，求AM的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O为AC中点，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，

AO=AB ∠BAC=∠OAG AC=AG

，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=

1

2

AC可推出∠ACB=30°，
由菱形可得EA=EC，
∴∠EAO=30°，
∵AE=3cm，
∴OE=

1

2

AE=

3

2

cm，AO=

AE2-OE2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
AC=2AO=3

3

cm，
延长AE交CG于点M，∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°，
∴AM⊥CG，
∴CM=

1

2

AC=

3 3

2

cm，
∴AM=

AC2-CM2

=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

cm．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵BG=AB，AC=2AB，O为AC中点，
∴AO=CO=AB，AC=AG，
在△AOG和△ABC中，

AO=AB ∠BAC=∠OAG AC=AG

，
∴△AOG≌△ABC（SAS），
∴∠ABC=∠AOG=90°，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；

（2）在Rt△ABC中，由AB=

1

2

AC可推出∠ACB=30°，
由菱形可得EA=EC，
∴∠EAO=30°，
∵AE=3cm，
∴OE=

1

2

AE=

3

2

cm，AO=

AE2-OE2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
AC=2AO=3

3

cm，
延长AE交CG于点M，∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°，
∴AM⊥CG，
∴CM=

1

2

AC=

3 3

2

cm，
∴AM=

AC2-CM2

=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

cm．