试题

题目：
青果学院（2013·道外区三模）已知在矩形ABCD中，AB=
2
，BC=3，点F为CD的中点，EF⊥BF交AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG=
19
222
73
19
222
73
．
答案
19
222
73

解：青果学院
延长BF、AD交于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=
2
，∠ADC=∠BCD=90°，
∵F为CD中点，
∴CF=DF=
1
2
CD=
2
2

∵EF⊥BF，
∴∠EFB=90°，
∴∠FBC+∠BFC=90°，∠BFC+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠FBC，
∵∠EDC=∠BCF=90°
∴△EDF∽△FCB，
∴
DE
CF
=
DF
BC
，
∴
DE
2
2
=
2
2
3
，
∴DE=
1
6
，
由勾股定理得：EC=
DE2+DC2
=
(
1
6
)2+(
2
)2
=
73
6
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△DFM∽△CFB，
∴
DF
CF
=
DM
BC
，
∵DF=CF，
∴BC=DM=3，
∵AD∥BC，
∴△EGM∽△CGB，
∴
EG
CG
=
EM
BC
，
EG
73
6
-EG
=
1
6
+3
3
，
EG=
19
222
73
，
故答案为：
19
222
73
．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
延长BF、AD交于M，根据矩形性质求出CD、DF、CF，证△EDF∽△FCB求出DE，根据勾股定理求出CE，证△DFM∽△CFB，求出DM，证△EGM∽△CGB，即可求出答案．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，有一定的难度．
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