试题

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）几秒钟后PQ⊥DQ？
（3）是否存在这样的时刻，使S_△PDQ=8cm²，试说明理由．

解：
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²．
则AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴

1

2

×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；
（2）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴

BP

CQ

=

BQ

CD

，
设AP=x，QB=2x．
∴

6-x

12-2x

=

2x

6

，
∴2x²-15x+18=0，
解得：x=

3

2

或6，
答：

3

2

秒或6秒钟后PQ⊥DQ；
（3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm²．
∵S_矩形ABCD-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=S_△DPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴12×6-

1

2

×12x-

1

2

×2x（6-x）-

1

2

×6×（12-2x）=8，
化简整理得   x²-6x+28=0，
∵△=36-4×28=-76＜0，
∴原方程无解，
∴不存在这样的时刻，使S_△PDQ=8cm²．
解：
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²．
则AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴

1

2

×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；
（2）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴

BP

CQ

=

BQ

CD

，
设AP=x，QB=2x．
∴

6-x

12-2x

=

2x

6

，
∴2x²-15x+18=0，
解得：x=

3

2

或6，
答：

3

2

秒或6秒钟后PQ⊥DQ；
（3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm²．
∵S_矩形ABCD-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=S_△DPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴12×6-

1

2

×12x-

1

2

×2x（6-x）-

1

2

×6×（12-2x）=8，
化简整理得   x²-6x+28=0，
∵△=36-4×28=-76＜0，
∴原方程无解，
∴不存在这样的时刻，使S_△PDQ=8cm²．