试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA=PQ．
答案
证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．
∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC．
∴△PAB≌△PQC（SAS），
∴PA=PQ．
证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．
∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC．
∴△PAB≌△PQC（SAS），
∴PA=PQ．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
首先根据矩形的性质及等边三角形的性质可证明得到∠PBA=∠PCQ=30°，进而得出∠PBA=∠PCQ．由等边三角形的性质及矩形的性质得到AB=CQ，PB=PC，利用SAS判定△PAB≌△PQC，从而得到PA=PQ．
此题考查了矩形的性质和全等三角形的判定及等边三角形的性质等，利用已知得出∠PBA=∠PCQ是解题关键．
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