试题

如图所示，已知矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F．
（1）试判断四边形AFCE是怎样的四边形？
（2）求出四边形AFCE的周长．

解：（1）四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
则在△AOE与△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=

25

4

，
即AF=

25

4

cm．
则菱形AFCE的周长为4x=25cm．
解：（1）四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
则在△AOE与△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=

25

4

，
即AF=

25

4

cm．
则菱形AFCE的周长为4x=25cm．