试题

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=5cm，△CDE的周长为12cm，求矩形ABCD的面积．

（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠一次，使点A与点C重合，
∴FE垂直平分AO，EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AE∥CF，
∴∠FCA=∠EAC，
∴∠FCA=∠ECA，
而CO⊥EF，
∴CO平分EF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵EC=EA=5cm，
而△CDE的周长为12cm，
∴DE+DC=7cm，即DE=7-DC，
∵DE²+DC²=EC²，
∴（7-DC）²+DC²=5²，解得DC=3或4，
当DC=3cm时，DE=4cm，AD=5cm+4cm=9cm，则S_矩形ABCD=3×9=27（cm²）；
当DC=4cm时，DE=3cm，AD=5cm+3cm=8cm，则S_矩形ABCD=4×8=32（cm²）；
∴S_矩形ABCD=27cm²或32cm²．
（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠一次，使点A与点C重合，
∴FE垂直平分AO，EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AE∥CF，
∴∠FCA=∠EAC，
∴∠FCA=∠ECA，
而CO⊥EF，
∴CO平分EF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵EC=EA=5cm，
而△CDE的周长为12cm，
∴DE+DC=7cm，即DE=7-DC，
∵DE²+DC²=EC²，
∴（7-DC）²+DC²=5²，解得DC=3或4，
当DC=3cm时，DE=4cm，AD=5cm+4cm=9cm，则S_矩形ABCD=3×9=27（cm²）；
当DC=4cm时，DE=3cm，AD=5cm+3cm=8cm，则S_矩形ABCD=4×8=32（cm²）；
∴S_矩形ABCD=27cm²或32cm²．