试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，DE垂直平分OC，若AD=4，求AB，AC，DE的长．
答案
解：∵DE垂直平分OC，
∴DC=DO，
∵∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=90°，AC=2OA=2OC，BD=2OD=2OB，AC=BD，青果学院
∴OA=OC=OB=OD，
∴△ODC是等边三角形，
∴DC=OD=OC，∠DCA=60°，
∴AC=2DC，
在Rt△ADC中，AD=4，由勾股定理得：DC2+42=（2DC）2，
∴DC=
4
3
3
，
∴AC=2OC=2DC=
8
3
3
，AB=DC=
4
3
3
，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=
1
2
DC=
2
3
3
，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE=
(
4
3
3
)2-(
2
3
3
)2
=2，
即AB=
4
3
3
，AC=
8
3
3
，DE=2．
解：∵DE垂直平分OC，
∴DC=DO，
∵∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=90°，AC=2OA=2OC，BD=2OD=2OB，AC=BD，青果学院
∴OA=OC=OB=OD，
∴△ODC是等边三角形，
∴DC=OD=OC，∠DCA=60°，
∴AC=2DC，
在Rt△ADC中，AD=4，由勾股定理得：DC2+42=（2DC）2，
∴DC=
4
3
3
，
∴AC=2OC=2DC=
8
3
3
，AB=DC=
4
3
3
，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=
1
2
DC=
2
3
3
，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE=
(
4
3
3
)2-(
2
3
3
)2
=2，
即AB=
4
3
3
，AC=
8
3
3
，DE=2．
考点梳理
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
根据垂直平分线性质得出DC=DO，根据矩形性质得出OA=OC=OD=OB，得出等边三角形DOC，推出DC=OC=OD，推出AC=2DC，根据勾股定理求出DC，AC，在Rt△DEC中，由勾股定理求出DE即可．
本题考查了矩形性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
找相似题