试题

题目：
青果学院（2012·宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是
5
3
2
5
3
2
．
答案
5
3
2

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=
1
2
AC=5，OB=OD=
1
2
BD=5，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE=sin60°·OD=
3
2
×5=
5
3
2
，
故答案为
5
3
2
．
考点梳理
矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=10，求得DE．
本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．
压轴题．
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