试题

题目：
青果学院如图：已知M是Rt△ABC的斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上且BP=5，CQ=3，PM⊥QM，则PQ为（　　）



答案
C
青果学院解：延长QM至D，使DM=QM，连接BD、PD，
∵M是边BC的中点，
∴BM=CM，
在△CMQ和△BMD中，
∵
BM=CM
∠CMQ=∠BMD(对顶角相等)
DM=QM
，
∴△CMQ≌△BMD（SAS），
∴BD=CQ，∠DBM=∠C，
在△ABC中，∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBM+∠ABC=90°，
即∠PBD=90°，
又∵PM⊥QM，DM=QM，
∴PD=PQ，
∵BP=5，CQ=3，
∴在Rt△PBD中，根据勾股定理，PD=
PB2+BD2
=
52+32
=
34
，即PQ=
34
．
故选C．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
延长QM至D，是DM=QM，连接BD、PD，然后利用“边角边”证明△CMQ和△BMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CQ，全等三角形对应角相等可得∠DBM=∠C，然后求出∠PBD=90°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PD=PQ，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线，构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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